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LA MATEMATICA DEL BATS

Operazioni algebriche con i vettori

Somma vettoriale

Dati i vettori A e B il vettore somma è un vettore A + B ottenuto traslando il secondo vettore in modo che l'origine di B coincida con il punto terminale di A e congiungendo l'origine di A con il termine di B (legge del parallelogrammo)

  • valgono le proprietà commutativa e associativa: A+B = B+A ; A+(B+C) = (A+B)+C
  • in termini di componenti: A + B = (Ax+Bx) i + (Ay+By) j + (Az+Bz) k
  • dati i moduli A B e l'angolo φ compreso tra i vettori, il modulo R del vettore risultante è dato da: R² = A² + B² + 2AB cos φ
  • la differenza A - B equivale alla somma di A con l'opposto di B
   

Prodotto di un vettore per uno scalare

Il prodotto di B per lo scalare c è un vettore c B di modulo c B, parallelo a B (con orientamento uguale se c è positivo, opposto se c è negativo)

Prodotto scalare di due vettori

Il prodotto scalare (interno) di due vettori A e B è lo scalare A · B = A B cos φ (dove φ è l'angolo tra i due vettori compreso tra 0 e 2p).

  • valgono le proprietà commutativa e distributiva: A·B = B·A ; A·(B+C) = (A+B)·C
  • in termini di componenti: A · B = AxBx + AyBy + AzBz ; A · A = Ax² + Ay² + Az² = A²
  • la quantità scalare b = B cos φ è detta componente di B secondo A, e vale A · B = A b
  • se A e B sono nulli o perpendicolari vale A · B = 0; quindi: i · j = j · k = i · k = 0
  • valgono le relazioni: i · i = j · j = k · k = 1
   

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale (esterno) di due vettori A e B è un vettore A ^ B di modulo A B sin φ (dove φ è l'angolo tra i due vettori compreso tra 0 e 2p), perpendicolare ai vettori dati (l'orientamento è tale che A , B e C formano un sistema destrorso).

  • valgono le proprietà anticommutativa e distributiva: A^B = -B^A : A^ (B+C) = (A^B)+(A^C)
  • in termini di componenti:
    A ^ B i j k  = ( AyBz - AzBy) i + ( AzBx - AxBz) i + ( AxBy - AyBx) k
     Ax   Ay   Az 
     Bx   By   Bz 
  • la quantità scalare B = B sin φ è detta componente di B nella direzione perpendicolare ad A, e vale | A ^ B | = A B
  • se A e B sono paralleli e non sono entrambi nulli vale A ^ B = 0; quindi i ^ i = j j = k ^ k = 0
  • valgono le relazioni: i ^ j = k j ^ k = i; k ^ i = j
  • in geometria | A ^ B | è l'area del parallelogrammo delimitato da A e B
   

Prodotto triplo

Il prodotto triplo di tre vettori A, B e C è lo scalare A · ( B ^ C )

  • in termini di componenti:
    A · ( B ^ C ) =   Ax   Ay   Az   = Ax ( ByCz - BzCy) + Ay ( BzCx - BxCz) + Az ( BxCy - ByCx)
     Bx   By   Bz 
     Cx   Cy   Cz 
  • in geometria A · ( B ^ C ) è il volume del parallelogrammo delimitato da A, B e C
   

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